2024年4月22日下午1点30分，中国科学院大学人文学院2024年第1期“科学与人文”讲座在中国科学院大学玉泉路校区人文楼教一2教室举行。中国科学院自然科学史研究所王涛副研究员应邀做了题为“从古典数学到现代数学”的讲座，中国科学院大学人文学院历史系苏湛副教授主持了本次讲座。
讲座开始，王涛副研究员对数学史的诞生和数学的发展分期进行了简要介绍。1758年，法国学者蒙图克拉（J.E.Montucla，1727-1799）的《数学史》（Histoire des mathématiques）标志着数学史作为一门学科的诞生。
关于数学的发展，王涛副研究员指出，数学从起源之初就表现出了一种脱离经验的倾向，因此与自然科学有很大不同。经过长期的发展，到了公元前4世纪，随着数的表示与计算方法的建立，以及对一些几何问题有了较为系统的研究方法，数学作为一门学科初步诞生。近现代以来，数学作为一门学科彻底从自然科学中独立，同时又成为自然科学与重大技术的基础和工具。
接下来，王涛副研究员从数论、几何、代数、分析、集合和结构六个部分展开本次讲座。
一、数论
出于生计等问题，几乎各文明都发明了数，尽管命名、表示方式不一，最后都自然地得到了数的概念——自然数。王涛副研究员以《几何原本》中的计数定理和初等数论基本定理为例，说明素数的出现及其在数论中的重要地位。王涛副研究员进一步介绍了哥德巴赫猜想，指出从自然数这种简单的数学对象出发，可以提出极难证明的问题，这类问题使得数学青春常在。
经过费马、欧拉、拉格朗日等人一系列的工作，高斯在1801年出版的《算术研究》中对数论做了统一的处理，标志着（初等）数论从19世纪开始成为一门系统的理论。
接着，王涛副研究员从0和负数开始讲解数域的扩张，指出代数数于19世纪上半叶开始形成，并逐渐发展为系统的理论——代数数论。
二、几何
以数为对象的学问是数论，以形为对象的学问是几何学。与数的概念相比，形具有直观性。然而到了雅典时期，古希腊的数学家开始考虑作图工具仅限于直尺与圆规的几何三大难题：三等分角、倍立方体和画圆为方。王涛副研究员强调，古希腊的三大几何问题表现出了脱离实际的明显倾向，同时，一个平面几何问题必须用尺规作图的方式解决在其后的《几何原本》中成为一条公设。
古希腊在人类文明史上占有重要地位，其数学以几何学为中心，其中欧几里得（Euclid）的《几何原本》（Elements）的问世，标志着演绎范式在数学中的确立。欧几里得几何学（欧氏几何）是人类思想史上最重要的创作之一，它启动了纯粹数学后来的演化过程：创造对象、创造问题、创作方法和创作理论。
王涛副研究员认为，欧氏几何学本质上是人们对经验的概括，其结论符合人们对现实的认知，然而这并不能排除在逻辑上不自相矛盾的其他几何学体系。例如，在欧氏几何的公设与公理中，其中第五公设相对有些奇怪和复杂，很多人认为第五公设可以从其他公设推出，并对此进行了尝试。王涛副研究员说明了18世纪的数学家萨凯里（G. Saccheri）使用归谬法证明第五公设的证明，对非欧几何的诞生进行介绍。随后，王涛副研究员指出，非欧几何的出现，将数学最终转化为脱离经验的形式学科。
三、代数
王涛副研究员先首先介绍了东方文明的数学，并主要对中国传统数学进行了详细说明。从公元前3世纪到公元14世纪，中国一直是世界上数学最为发达的地区，影响遍及朝鲜、日本、越南等汉字文化圈。先秦、魏晋南北朝与宋元时期是中国古代数学最为发达的三个时期，具体成就包括：刘徽的割圆术、祖冲之对圆周率的计算以及宋元时期开方术等算法。在中国，数学曾长期被称为算术或算学。
王涛副研究员认为，无论是古希腊几何，还是中国、印度和阿拉伯的算法，均不能单独发展为近代数学，近代数学正是在两种互补的数学相互融合的基础上诞生的。接着，王涛副研究员以13-15世纪意大利的数学为例，说明中世纪晚期，欧洲人了解、搜求、翻译与研究阿拉伯与拜占庭地区的希腊以及东方的古典数学著作的过程。
王涛副研究员继续对代数的发展进行解释。16世纪末，法国数学家韦达（F. Vieta）将数学符号系统化。他把算术中以数为运算对象扩充为以符号为运算对象（引进变元与求解方程），标志着符号代数学的诞生。17世纪上半叶，法国数学家笛卡儿（R. Descartes）与费马（P. de Fermat）独立地发明了解析几何（坐标几何）。解析几何的出现标志着数与形的统一，古典几何学与古典代数学的统一。 因此。解析几何的诞生是数学从古典向近代过渡中最重要的一步，为微积分的诞生奠定了基础。
四、分析
王涛副研究员先对代数函数进行了简要介绍。为了解决天文、航海、机械等方面的问题，需要对运动做大量的研究，因此函数的概念也来源于外部的经验世界。早期的函数都有具体化的表示，其中性质最好、用的最多的是多项式函数，也称为代数函数。代数函数还具有两个特别的运算：微分与积分。王涛副研究员以16-18世纪英国的数学为例，对微分和积分进行详细解释。
王涛副研究员指出，18世纪微积分与力学的发展密不可分，它们的结合诞生了一系列新的数学分支：常微分方程、偏微分方程（数学物理方程）、变分学。这些新的分支与微积分一起形成了“分析”的领域。分析开始成为一门学科并与几何、代数鼎足而立。随后王涛副研究员又对18-19世纪法国的数学和17-19世纪德国的数学进行了详细介绍。
五、集合
在分析学严格化的过程中，德国数学家康托尔（G.Cantor，1845-1918）研究了函数的三角级数展开与实数理论（完备性）问题，并由此开拓出一个全新的领域——集合论。王涛副研究员认为，康托尔的朴素集合论成为现代数学的基础，但存在矛盾。1901年5月，英国哲学家罗素（Russell）发现了与之相关的罗素悖论。数学家们开始采用公理化方法来消除悖论，把集合论变成一个完全抽象的公理化理论—公理化集合论，这导致数理逻辑的产生。
进入到20世纪，在康托尔集合论观点与希尔伯特现代公理化方法的基础上，数学产生出实变函数、泛函分析、拓扑学与抽象代数等一系列风格与内容与此前迥异的抽象学科。王涛副研究员指出，这些新的抽象学科在自身理论不断发展和完善的同时，还渗透到传统的数论、代数、分析与几何等学科与分支中，将它们也推向抽象深处。例如，概率论的公理化。进而，王涛副研究员以18-19世纪俄国、20世纪苏联和20世纪美国的数学进行了相关内容的介绍。
六、结构
王涛副研究员认为，结构一词早已超出科学的范围，变成一个日常用语。数学的结构定义在集合上，集合上一旦有了结构，也就是元素之间具有一些特有的关系，就产生了丰富的内容。王涛副研究员以群为例进行了详细解释，并强调群可以建立在集合论的基础上用公理化的方法统一处理，群因此在本质上是一种代数结构。之后，王涛副研究员对20世纪各国的数学进行了介绍，以此说明现代数学的发展情况。
七、总结与评论
最后，王涛副研究员对本次讲座的内容进行了总结和评论。
王涛副研究员总结回顾了古典数学到现代数学的发展脉络，再以代数学为例分析从经典数学到现代数学的转变。他形容数学是一座高耸入云的大树，有着坚实的基础，而且不断加高，前沿永无止境。数学的发展主要采用了抽象与推广的方法。正是由于这种普适性，数学在其他科学中具有不可思议的有效性。
王涛副研究员进而探讨了中国现代数学的强国之路。他指出，纵观近现代数学史，一个国家或地区的数学发展，大体要经历精英化、职业化与大众化三个阶段。我国已走完了精英化与职业化的阶段，进入到大众化的阶段。一个国家或地区成为数学强国的必要条件是拥有稳定、连续与成熟的数学家培养体系，特别是要形成数学家集体与学派，创造出新的学科来引领数学发展，解决数学领域最重要的问题。更为重要的是，数学家能够应用数学解决本国经济与科技发展中的实际问题，并表现出独创性。
报告结束后，王涛副研究员就讲座中的问题与在场学生进行了互动交流。在同学们热烈的掌声中，讲座顺利结束。
【图文/汤卉頔】
【主讲人简介】
王涛，中国科学院自然科学史研究所副研究员、中国科学院青年创新促进会成员，主要研究方向为近现代数学史与数学文化的传播普及，现任《数学文化》特约撰稿人。先后主持国家自然科学基金4项和中国博士后科学基金1项，出版专著/译著5部，发表研究论文20余篇，荣获中国数学会数学史分会首届数学史青年优秀论文奖。
